Дистанционный курс высшей математики НИЯУ МИФИ
Математический анализ 3 семестр
Лекция 6
Основные формулы векторного анализа. Формула Грина.
16 октября 2014 года Лектор: Профессор НИЯУ МИФИ, д.ф.-м.н.
Орловский Дмитрий Германович
Формула Грина
y
Ω
x
|
|
Q |
|
P |
|
|
|
dxdy |
|
Pdx Qdy |
|
|
||
|
|
x |
|
y |
Формула Грина
Джордж Грин 14.07.1793 – 31.05.1841
Джордж Грин в юности не получил образования, математику изучал самостоятельно и только в 1833 г. поступил в Кембриджский университет, который окончил в 1837 г. В сочинении "Опыт
применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма"
(1828 г.) развил теорию электричества и магнетизма, опираясь на введенное в этой работе понятие потенциала и соотношение между интегралом по объему и интегралом по поверхности, ограничивающей этот объем. Независимо от Грина указанное соотношение в том же году получил М.В. Остроградский.
Формула Грина
Значение работ Грина для основ теории упругости можно сравнить только с открытием Навье основных уравнений. В 1839 г. Грин на основе принципа сохранения энергии, введя понятие упругого потенциала, вывел зависимости
между деформациями и напряжениями для упругого анизотропного тела, в которых число независимых модулей упругости в общем случае равняется 21.
Формула Грина
Доказательство будет дано для случая, когда рассматриваемая область представляет собой криволинейный прямоугольник как в направлении оси абсцисс, так и в направлении оси ординат.
|
|
y (x) |
|
|
|
|
|
|
y d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
Ω |
|
|
|
|
|
|
x g( y) |
x f ( y) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
y c |
||
|
|
y ( x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x b |
|
|
|
|
|
|
||
|
, C1[a;b] |
|
|
|
f , g C1[c;d ] |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P,Q C1( )
Формула Грина
Принцип объединения
Формула Грина
|
|
P |
dxdy |
|
Pdx |
|
|||
|
|
y |
|
|
|
|
Q |
dxdy |
|
Qdy |
||||
|
|
x |
|
|
|
|
Q |
|
P |
|
|
|
dxdy |
|
Pdx Qdy |
|
|
||
|
|
x |
|
y |
Формула Грина
y |
|
|
Pdx Pdx Pdx |
||
|
L3 |
|
|||
|
|
|
L |
L |
|
L4 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
Pdx Pdx |
|||
|
|
||||
|
L2 |
|
L3 |
L4 |
|
|
L1 |
|
|
|
|
|
|
x |
Вдоль кривых L2 |
и L4 x=const, |
|
a |
b |
|
|||
|
поэтому dx = 0 и интегралы |
||||
равны нулю.
Pdx Pdx Pdx
|
L1 |
L3 |
Формула Грина
y
Параметрическое уравнение L1 :
L1
x a b
x t,
y (t),a t b
b
P(x, y)dx P(t, (t))dt
L1 a
Формула Грина
y
L3
Параметрическое уравнение L3 :
x t,
y (t),
b t a
x a b
a b
P(x, y)dx P(t, (t))dt P(t, (t))dt
L3 b a